Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
∫_{0}^{1} ∫_{y}^{\sqrt{2 y}}(x+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{2y}}(x+y)\,dx\,dy
convertendo antes para coordenadas polares. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a relação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta
e a descrição da região de integração em termos de (r,\theta).

Passo 2

Primeiro identificamos a região R em coordenadas cartesianas:
R = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;\;y\le x\le \sqrt{2y}\bigr\}.
As fronteiras são
  1. x=y, que em polares é \theta=\tfrac\pi4.
  2. x=\sqrt{2y}, que é x^2=2y, em polares
r^2\cos^2\theta = 2\,r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}.
  1. y=1, que em polares é r\sin\theta=1, ou seja r=\tfrac1{\sin\theta}.
  2. O semi‐eixo positivo y=0 corresponde a \theta=0.

Passo 3

Para parametrizar R em polares, notamos que a fronteira circular r=\tfrac1{\sin\theta} e a curva r=\tfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} se cruzam quando
\frac1{\sin\theta}=\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} \quad\Longrightarrow\quad \tan^2\theta=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta_0=\arctan\frac1{\sqrt2}.
Além disso, a condição x\ge y impõe \theta\le\tfrac\pi4. Assim dividimos a integração em duas faixas de \theta:
0\le\theta\le\theta_0 \quad\text{com}\quad 0\le r\le \frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta},
\theta_0\le\theta\le\frac\pi4 \quad\text{com}\quad 0\le r\le \frac1{\sin\theta}.

Passo 4

Em coordenadas polares o integrando fica
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta),
e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Logo a integral é
\int_{0}^{\theta_0}\!\int_{0}^{\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}} r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta \;+\; \int_{\theta_0}^{\frac\pi4}\!\int_{0}^{\frac1{\sin\theta}} r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Fazendo primeiro a integral em r:
\int_{0}^{R}r^2\,dr = \frac{R^3}{3},
ficamos com soma de duas integrais em \theta que, depois de alguma álgebra, leva ao valor
\frac{2\sqrt2}{5}.

Resposta

\frac{2\sqrt2}{5}.

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