Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
convertendo antes para coordenadas polares. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a relação
e a descrição da região de integração em termos de
.
Passo 2
Primeiro identificamos a região
em coordenadas cartesianas:
As fronteiras são
-
, que em polares é . -
, que é , em polares
-
, que em polares é , ou seja . - O semi‐eixo positivo
corresponde a .
Passo 3
Para parametrizar
em polares, notamos que a fronteira circular
e a curva
se cruzam quando
Além disso, a condição
impõe
. Assim dividimos a integração em duas faixas de
:
Passo 4
Em coordenadas polares o integrando fica
e
. Logo a integral é
Fazendo primeiro a integral em
:
ficamos com soma de duas integrais em
que, depois de alguma álgebra, leva ao valor