Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas: a gente vai descrever a região no plano, passar para
, usar o jacobiano
e então integrar em
e
.
Passo 2
Vamos entender a região de integração
no plano
. Como
vai de
a
e, para cada
,
vai de
até
, isso é exatamente o quarto de círculo de raio
no quarto quadrante. Em coordenadas polares:
-
vai de até . -
vai de (eixo negativo de ) até (eixo positivo de ).
Passo 3
Em coordenadas polares temos
então
O elemento de área
vira
. Logo o integrando conjunto é
Passo 4
A integral em polares fica
Como a parte em
e a parte em
se separam, calculamos primeiro
e depois
Para essa última usamos
,
. Quando
,
; quando
,
. Então
Multiplicando os dois resultados dá