Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
∫_{0}^{a} ∫_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{0} x^{2} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{0}x^{2}y\;dy\;dx
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas: a gente vai descrever a região no plano, passar para \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, usar o jacobiano r e então integrar em r e \theta.

Passo 2

Vamos entender a região de integração R no plano xy. Como x vai de 0 a a e, para cada x, y vai de -\sqrt{a^{2}-x^{2}} até 0, isso é exatamente o quarto de círculo de raio a no quarto quadrante. Em coordenadas polares:
  • r vai de 0 até a.
  • \theta vai de -\tfrac{\pi}{2} (eixo negativo de y) até 0 (eixo positivo de x).

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
então
x^{2}y=(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta) =r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.
O elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Logo o integrando conjunto é
r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\;\times r =r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 4

A integral em polares fica
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{0}\int_{r=0}^{a} r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \;dr\;d\theta.
Como a parte em r e a parte em \theta se separam, calculamos primeiro
\int_{0}^{a}r^{4}\,dr =\frac{a^{5}}{5},
e depois
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos^{2}\theta\,\sin\theta \;d\theta.
Para essa última usamos u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=-\frac{\pi}{2}, u=0; quando \theta=0, u=1. Então
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta =-\int_{0}^{1}u^{2}\,du =-\Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =-\tfrac{1}{3}.
Multiplicando os dois resultados dá
\frac{a^{5}}{5}\times\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr) =-\frac{a^{5}}{15}.

Resposta

-\frac{a^{5}}{15}.

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