Determine o limite infinito.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-x}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1}\frac{2 - x}{(x - 1)^{2}}
que é um caso clássico em que o numerador tende a um valor não nulo e o denominador tende a zero. Vamos usar as propriedades de limites e analisar sinais para determinar se o resultado é +\infty ou -\infty.

Passo 2

Analisamos o numerador separadamente:
\lim_{x\to1}(2 - x) = 2 - 1 = 1.
Logo, o numerador tende a 1, que é diferente de zero.

Passo 3

Agora o denominador:
(x - 1)^{2}
é o quadrado de algo que tende a zero. Portanto
\lim_{x\to1}(x - 1)^{2} = 0,
mas como é um quadrado, (x-1)^{2} é sempre não‐negativo e estritamente positivo para x\neq1. Ou seja, ao nos aproximarmos de 1 por qualquer lado, o denominador vai a zero pelo lado positivo.

Passo 4

Temos numerador tendendo a 1>0 e denominador tendendo a 0^{+}. Quando dividimos uma constante positiva por algo que vai a zero pelo lado positivo, o quociente cresce sem limite. Portanto
\frac{2 - x}{(x - 1)^{2}} \to +\infty
quando x\to1.

Resposta

O limite é +\infty.

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