Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
convertendo para coordenadas polares.
Em coordenadas polares usamos
Em coordenadas polares usamos
e a função fica
.
Passo 2
Precisamos descrever a região
em
. Em
-plano,
é o conjunto de pontos com
-
(isto é, acima do eixo ), -
(isto é, à direita da parábola ), -
(isto é, à esquerda da reta vertical ).
Em polares isso vira
-
. - A parábola dá
Da equação quadrática em
obtemos a fronteira positiva
- A reta
vira
, válida quando .
Passo 3
Para cada
a ‘primeira’ fronteira que o raio encontra é a menor das duas:
- Definimos o ângulo crítico
, pois na interseção parábola–reta temos , . - Para
o raio atinge primeiro , isto é, . - Para
o raio atinge primeiro a parábola, isto é, .
Fora de
não há pontos de
porque acima de
a condição da parábola impede existência de
.
Passo 4
Escrevemos então a integral em polares como soma de dois pedaços:
Passo 5
Fazemos a integral em
com a substituição
,
:
Aplicando isso em cada pedaço fica
Passo 6
Concluímos que não há expressão elementar fechada para essas integrais em
. Portanto, a resposta final é dado pela forma acima.
Resposta
onde