Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
∫_{-1}^{3} ∫_{0}^{\sqrt{x+1}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{x=-1}^{3}\int_{y=0}^{\sqrt{x+1}}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
convertendo para coordenadas polares.
Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e a função fica \operatorname{sen}(r^{2}).

Passo 2

Precisamos descrever a região R em (r,\theta). Em xy-plano, R é o conjunto de pontos com
  1. y\ge0 (isto é, acima do eixo x),
  2. y^{2}\le x+1 (isto é, à direita da parábola x=y^{2}-1),
  3. x\le3 (isto é, à esquerda da reta vertical x=3).
Em polares isso vira
  • y\ge0\implies r\sin\theta\ge0\implies \theta\in[0,\pi].
  • A parábola dá
y^{2}=x+1 \\ \Longrightarrow\\ (r\sin\theta)^{2}=r\cos\theta+1 \\ \Longrightarrow\\ r^{2}\sin^{2}\theta -r\cos\theta-1=0.
Da equação quadrática em r obtemos a fronteira positiva
r_{\mathrm{par}}(\theta) = \frac{\cos\theta+\sqrt{\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta}}{2\sin^{2}\theta} = \frac{\cos\theta+\sqrt{1+3\sin^{2}\theta}}{2\sin^{2}\theta}.
  • A reta x=3 vira
    \;r\cos\theta=3\implies r=\tfrac{3}{\cos\theta}, válida quando \cos\theta>0.

Passo 3

Para cada \theta\in[0,\pi/2] a ‘primeira’ fronteira que o raio encontra é a menor das duas:
  • Definimos o ângulo crítico
    \displaystyle \theta_{0}=\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr), pois na interseção parábola–reta temos y=2, x=3.
  • Para 0\le\theta\le\theta_{0} o raio atinge primeiro x=3, isto é, r_{\max}=3/\cos\theta.
  • Para \theta_{0}\le\theta\le\pi/2 o raio atinge primeiro a parábola, isto é, r_{\max}=r_{\mathrm{par}}(\theta).
Fora de [0,\pi/2] não há pontos de R porque acima de \pi/2 a condição da parábola impede existência de r\ge0.

Passo 4

Escrevemos então a integral em polares como soma de dois pedaços:
\iint_{R}\operatorname{sen}(r^{2})\,dA = \int_{0}^{\theta_{0}} \!\int_{0}^{\tfrac{3}{\cos\theta}} \operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr\,d\theta + \int_{\theta_{0}}^{\tfrac{\pi}{2}} \!\int_{0}^{r_{\mathrm{par}}(\theta)} \operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Fazemos a integral em r com a substituição u=r^{2}, du=2r\,dr:
\int_{0}^{R}\operatorname{sen}(r^{2})\,r\,dr =\frac12\int_{0}^{R^{2}}\operatorname{sen}(u)\,du =-\frac12\bigl[\cos(u)\bigr]_{0}^{R^{2}} =\frac12\bigl(1-\cos(R^{2})\bigr).
Aplicando isso em cada pedaço fica
\frac12 \int_{0}^{\theta_{0}} \biggl(1-\cos\!\bigl((\tfrac{3}{\cos\theta})^{2}\bigr)\biggr)d\theta \;+\; \frac12 \int_{\theta_{0}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1-\cos\bigl(r_{\mathrm{par}}(\theta)^{2}\bigr)\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Concluímos que não há expressão elementar fechada para essas integrais em \theta. Portanto, a resposta final é dado pela forma acima.

Resposta

\int_{-1}^{3}\!\int_{0}^{\sqrt{x+1}}\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx = \frac12 \int_{0}^{\arctan(\tfrac{2}{3})} \Bigl(1-\cos\bigl(\tfrac{9}{\cos^{2}\theta}\bigr)\Bigr)d\theta + \frac12 \int_{\arctan(\tfrac{2}{3})}^{\tfrac{\pi}{2}} \Bigl(1-\cos\bigl(r_{\mathrm{par}}(\theta)^{2}\bigr)\Bigr)d\theta,
onde
r_{\mathrm{par}}(\theta) = \frac{\cos\theta+\sqrt{1+3\sin^{2}\theta}}{2\sin^{2}\theta}.

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