Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. A gente vai usar coordenadas polares pra facilitar. Coordenadas polares são super úteis quando estamos trabalhando com regiões circulares, como aqui que os limites formam um semicírculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O limite de
vai de
a
e, para cada
,
vai de
até
. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. A gente usa as fórmulas:
Além disso, o diferencial de área
vira
em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração:
- Raio
: Como estamos num círculo de raio , vai de a . - Ângulo
: Como estamos na parte superior do círculo, vai de a (já que radianos é 180 graus).
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral vira:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral vale
.