Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 , dy , dx. A gente vai usar coordenadas polares pra facilitar. Coordenadas polares são super úteis quando estamos trabalhando com regiões circulares, como aqui que os limites formam um semicírculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O limite de x vai de -1 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até raiz1 - x^2. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. A gente usa as fórmulas:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o diferencial de área dx , dy vira r , dr , dtheta em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração:
  • Raio r: Como estamos num círculo de raio 1, r vai de 0 a 1.
  • Ângulo theta: Como estamos na parte superior do círculo, theta vai de 0 a pi (já que pi radianos é 180 graus).

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^pi integral0^1 e^(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando o expoente:
(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Então, a integral fica:
integral0^pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^1 e^r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = 12 du. A integral vira:
12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e - 1)
Agora, integramos em theta:
integral0^pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) cdot pi = pi2 (e - 1)

Resposta

A integral vale dfracpi2 ( e - 1 ).

Exercícios relacionados