Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=pi^n1+2^2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=pi^n1+2^2n
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. Vamos usar técnicas de comparação de taxas de crescimento, dividindo numerador e denominador pelo termo de maior grau.

Passo 2

No denominador, o termo dominante para n grande é 2^2n=4^n. Então dividimos numerador e denominador por 4^n:
an =pi^n1+4^n =dfracpi^n4^ndfrac14^n+1 =l(tfracpi4r)^ntfrac14^n+1

Passo 3

Como l|tfracpi4r|<1, temos
l(tfracpi4r)^n to 0 e tfrac14^nto 0 quando ntoinfty
Logo o numerador vai a zero e o denominador vai a 1, de modo que
anto0

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=0

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