Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=e^n-e^-ne^n+e^-n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = e^n - e^-ne^n + e^-n
converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite. Vamos usar a ideia de fator dominante, isto é, identificar o termo que cresce mais rápido quando ntoinfty.

Passo 2

Para tornar explícita a dominância de e^n sobre e^-n, dividimos numerador e denominador por e^n:
an = e^n - e^-ne^n + e^-n = 1 - e^-2n1 + e^-2n

Passo 3

Como limntoinftye^-2n=0, temos
limntoinftyan = limntoinfty1 - e^-2n1 + e^-2n = 1 - 01 + 0 = 1
Logo, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=1.

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