Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
Nossa equação original é:
Dividindo tudo por
(já que
) para isolar
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando:
Curiosamente, voltamos à equação original, o que indica que já está no formato adequado para aplicar o fator integrante.
Passo 5
Com o fator integrante, a equação pode ser reescrita como a derivada do produto
:
Isso porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Integrando mais uma vez:
Então:
Passo 8
Voltando à equação onde paramos:
Agora, isolamos
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.