Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
t y^prime+y=3 t cos 2 t, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
t y' + y = 3 t cos 2 t, t > 0
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
y' + P(t) y = Q(t)
Nossa equação original é:
t y' + y = 3 t cos 2 t
Dividindo tudo por t (já que t > 0 ) para isolar y' :
y' + 1t y = 3 cos 2 t
Aqui, identificamos que P(t) = 1t e Q(t) = 3 cos 2 t .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) :
mu(t) = e^integral 1t dt = e^ln t = t
Então, o fator integrante é mu(t) = t .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante mu(t) :
t cdot y' + t cdot 1t y = 3 t cos 2 t cdot t
Simplificando:
t y' + y = 3 t cos 2 t
Curiosamente, voltamos à equação original, o que indica que já está no formato adequado para aplicar o fator integrante.

Passo 5

Com o fator integrante, a equação pode ser reescrita como a derivada do produto mu(t) y :
ddt (t y) = 3 t cos 2 t
Isso porque:
ddt (t y) = t y' + y

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt (t y) dt = integral 3 t cos 2 t , dt
Simplificando:
t y = 3 integral t cos 2 t , dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral integral t cos 2 t , dt usando a técnica de integração por partes. Escolhemos:
  • u = t  ⇒   du = dt
  • dv = cos 2 t , dt  ⇒   v = 12 sin 2 t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = u v - integral v , du :
integral t cos 2 t , dt = t cdot 12 sin 2 t - integral 12 sin 2 t , dt
Integrando mais uma vez:
= t sin 2 t2 + cos 2 t4 + C
Então:
3 integral t cos 2 t , dt = 3 t sin 2 t2 + 3 cos 2 t4 + C

Passo 8

Voltando à equação onde paramos:
t y = 3 t sin 2 t2 + 3 cos 2 t4 + C
Agora, isolamos y dividindo tudo por t :
y = 3 sin 2 t2 + 3 cos 2 t4 t + Ct

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 32 sin 2 t + 34 t cos 2 t + Ct
Onde C é uma constante arbitrária.

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