Considere a função
com o parâmetro
.
O que diz o teste das segundas derivadas se
?
O que diz o teste das segundas derivadas se
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a função
com
sendo um número real. A pergunta é: o que o teste das segundas derivadas nos diz quando
e
? Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teste das segundas derivadas em funções de duas variáveis, que ajuda a identificar se um ponto crítico é um ponto de mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as primeiras derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), podemos multiplicar a equação (1) por 2:
E a equação (2) permanece:
Agora, podemos multiplicar a equação (2) por
:
Agora, subtraímos a equação (4) da equação (3):
Então, ou
ou
. Vamos analisar cada caso.
Passo 4
Se
, então
, ou seja,
. Isso é exatamente o que a questão quer que a gente analise!
Então, para
ou
, temos que
, o que leva a
.
Substituindo
na equação (2):
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teste das segundas derivadas. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e formar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
A matriz Hessiana
é:
Passo 6
O teste das segundas derivadas utiliza o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
Agora, avaliamos
para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Quando o determinante
, o teste das segundas derivadas é inconclusivo. Isso significa que não conseguimos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse teste. Ou seja, para
e
, o teste não nos diz se o ponto
é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Precisaríamos usar outros métodos para descobrir isso.
Resposta
Para ambos
e
, o teste das segundas derivadas é inconclusivo.