Considere a função
f(x, y)=x^2+y^2+beta x y
com o parâmetro beta in R.
O que diz o teste das segundas derivadas se beta= pm 2?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = x^2 + y^2 + beta x y com beta sendo um número real. A pergunta é: o que o teste das segundas derivadas nos diz quando beta = 2 e beta = -2 ? Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teste das segundas derivadas em funções de duas variáveis, que ajuda a identificar se um ponto crítico é um ponto de mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as primeiras derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 2x + beta y
fy = partial fpartial y = 2y + beta x
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
2x + beta y = 0 (1)
2y + beta x = 0 (2)

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), podemos multiplicar a equação (1) por 2:
4x + 2beta y = 0 (3)
E a equação (2) permanece:
2y + beta x = 0 (2)
Agora, podemos multiplicar a equação (2) por beta :
2beta y + beta^2 x = 0 (4)
Agora, subtraímos a equação (4) da equação (3):
4x + 2beta y - (2beta y + beta^2 x) = 0
4x - beta^2 x = 0
x(4 - beta^2) = 0
Então, ou x = 0 ou 4 - beta^2 = 0 . Vamos analisar cada caso.

Passo 4

Se 4 - beta^2 = 0 , então beta^2 = 4 , ou seja, beta = pm 2 . Isso é exatamente o que a questão quer que a gente analise!
Então, para beta = 2 ou beta = -2 , temos que 4 - beta^2 = 0 , o que leva a x = 0 .
Substituindo x = 0 na equação (2):
2y + beta cdot 0 = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é (0, 0) .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste das segundas derivadas. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e formar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = beta
A matriz Hessiana H é:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 2 & beta beta & 2

Passo 6

O teste das segundas derivadas utiliza o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (2)(2) - beta^2 = 4 - beta^2
Agora, avaliamos D para beta = 2 e beta = -2 :
Para beta = 2 :
D = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0
Para beta = -2 :
D = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0

Passo 7

Quando o determinante D = 0 , o teste das segundas derivadas é inconclusivo. Isso significa que não conseguimos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse teste. Ou seja, para beta = 2 e beta = -2 , o teste não nos diz se o ponto (0, 0) é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Precisaríamos usar outros métodos para descobrir isso.

Resposta

Para ambos beta = 2 e beta = -2 , o teste das segundas derivadas é inconclusivo.

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