Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Basicamente, temos que resolver:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x raizx^2+y^2 , dy , dx
Matéria envolvida: Integração em coordenadas polares, especialmente para facilitar o cálculo de integrais sobre regiões circulares.
O que vamos precisar: Saber como converter coordenadas cartesianas para polares, entender como mudar os limites de integração e aplicar essas conversões na integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de x e y descrevem o interior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso porque x vai de -1 a 1 e, para cada x, y varia entre -raiz1 - x^2 e raiz1 - x^2 , o que é a equação de um círculo.

Passo 3

Como estamos lidando com um círculo, coordenadas polares são ideais. Vamos lembrar que:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • O elemento de área dA = r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Primeiro, substituímos x e raizx^2 + y^2 :
  • x = r cos theta
  • raizx^2 + y^2 = r
Então, a função dentro da integral fica:
x raizx^2+y^2 = r cos theta cdot r = r^2 cos theta

Passo 5

Agora, ajustamos os limites de integração. No círculo de raio 1:
  • r vai de 0 a 1
  • theta vai de 0 a 2pi
Então, a integral em coordenadas polares fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 cos theta cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 cos theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 7

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
14 integral0^2pi cos theta , dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa em relação a theta :
integral0^2pi cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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