Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Basicamente, temos que resolver:
Matéria envolvida: Integração em coordenadas polares, especialmente para facilitar o cálculo de integrais sobre regiões circulares.
O que vamos precisar: Saber como converter coordenadas cartesianas para polares, entender como mudar os limites de integração e aplicar essas conversões na integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de
e
descrevem o interior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso porque
vai de
a
e, para cada
,
varia entre
e
, o que é a equação de um círculo.
Passo 3
Como estamos lidando com um círculo, coordenadas polares são ideais. Vamos lembrar que:
-
-
- O elemento de área
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Primeiro, substituímos
e
:
Então, a função dentro da integral fica:
Passo 5
Agora, ajustamos os limites de integração. No círculo de raio 1:
-
vai de a -
vai de a
Então, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é 0.