Dada a função f(x, y)=x sen(2 y), verifique se os pontos (0, pi2) e (pi, 0) são pontos críticos da função e, se possível, classifique-os em máximo, mínimo ou sela cada um deles.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=xsin(2y)
e pede para verificar se os pontos l(0,tfracpi2r) e (pi,0) são críticos (isto é, se nabla f=0 nesses pontos) e, quando for o caso, classificá-los como máximo, mínimo ou ponto de sela. Vamos precisar de derivadas parciais de primeira ordem para achar nabla f e de segunda ordem para aplicar o teste do Hessiano.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=partialpartial xl(xsin(2y)r)=sin(2y),
fy(x,y)=partialpartial yl(xsin(2y)r)=2xcos(2y)

Passo 3

Avaliemos nabla f nos pontos dados:
  • Em l(0,tfracpi2r): fxl(0,tfracpi2r)=sinl(2cdottfracpi2r)=sin(pi)=0,
fyl(0,tfracpi2r)=2cdot 0cdotcos(pi)=0
Logo nabla f=,(0,0), é ponto crítico.
  • Em (pi,0): fx(pi,0)=sin(0)=0,
fy(pi,0)=2picos(0)=2pineq0
Logo nabla fneq(0,0) e (pi,0) não é ponto crítico.

Passo 4

Para classificar l(0,tfracpi2r) usamos as derivadas de segunda ordem:
fxx(x,y)=0, fxy(x,y)=partialpartial yl(sin(2y)r)=2cos(2y),
fyy(x,y)=partialpartial yl(2xcos(2y)r)=-4xsin(2y)

Passo 5

No ponto l(0,tfracpi2r) vale
fxx=0, fxy=2cos(pi)=-2, fyy=-4cdot0cdotsin(pi)=0
O determinante do Hessiano é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 0cdot0 - (-2)^2 = -4 < 0,
logo é ponto de sela.

Resposta

l(0,tfracpi2r) é ponto crítico e ponto de sela.
(pi,0) não é ponto crítico.

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