Questão 2: A partir da forma não-conservativa das Equações de Navier-Stokes, encontre a equação de conservação não-dimensional em termos dos números de Re (Reynolds), Fr (Froude), Eu (Euler) e St (Strouhal). Consulte a seção 10.2 do Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização.

Passo 1

O enunciado pede para partir da forma não\mbox{-}conservativa das equações de Navier\mbox{–}Stokes e, usando adimensionalização com as escalas de Çengel (seção 10.2), encontrar a forma de conservação não\mbox{-}dimensional em termos dos números de Reynolds ( Re), Froude ( Fr), Euler ( Eu) e Strouhal ( St). Para isso vamos precisar da forma dimensional das equações, das escalas características de comprimento, velocidade, tempo, pressão e gravidade, e das definições dos números adimensionais.

Passo 2

Escrevemos a forma não\mbox{-}conservativa para fluido incompressível e corpo de força g:
partial upartial t + (ucdotnabla)u = -1rho,nabla p + nu,nabla^2u + g,
com a condição de incompressibilidade
nablacdotu=0

Passo 3

Introduzimos as variáveis adimensionais (asterisco) e suas escalas características:
x = L,x^*, t = T,t^*, u = U,u^*, p = De<a p,p^*, g = g0,g^*

Passo 4

Escolhemos as escalas segundo Çengel:
L (comprimento), U (velocidade), T (tempo livre), De<a p (escala de pressão), g0 (gravidade característica) ãí
Definimos os números adimensionais como
Re = U,Lnu, Eu = De<a prho,U^2, Fr = Uraizg0,L, St = LU,T

Passo 5

Substituindo u=U,u^*, etc., na equação e usando as relações
partialpartial t = 1Tpartialpartial t^*, nabla = 1Lnabla^*,
obtemos, após agrupar o fator comum U^2/L e dividir toda a equação por ele,
St,partial u^*partial t^* + (u^*cdotnabla^*)u^* = -Eu,nabla^* p^* + 1Re,nabla^*2u^* + 1Fr^2,g^*,
e a condição de incompressibilidade vira
nabla^*cdotu^*=0

Resposta

A forma de conservação não\mbox{-}dimensional é
St,partial u^*partial t^* + (u^*cdotnabla^*)u^* = -Eu,nabla^* p^* + 1Re,nabla^*2u^* + 1Fr^2,g^*,
com
nabla^*cdotu^*=0

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