Dada a integral:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 e^-(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d y d x
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
integral0^1integral0^raiz1-x^2integral0^raiz1-x^2-y^2e^-l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dz,dy,dx
em coordenadas cilíndricas. Vamos usar o conteúdo de mudança de variáveis em integrais múltiplas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o fator jacobiano r.

Passo 2

Fazendo a troca de variáveis temos
,x = rcostheta,
,y = rsintheta,
,z = z,
e o elemento de volume
dV = dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Precisamos descobrir os limites em (r,theta,z).
  1. Na projeção pra xy-plano, x>=0, y>=0 e x^2+y^2<=1 formam um setor de círculo de raio 1 e ângulo thetain[0,pi/2].
  2. O raio varia de r=0 até r=1.
  3. Para cada (r,theta) fixo, z vai de 0 até a borda da esfera z=raiz1-r^2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, o integrando e^-(x^2+y^2+z^2)^3/2 torna-se
e^-l(r^2+z^2r)^3/2,
e o elemento de volume é r,dz,dr,dtheta. Logo a integral em cilíndricas fica:

Resposta

integraltheta=0^pi/2!!integralr=0^1!!integralz=0^raiz1-r^2 e^-l(r^2+z^2r)^3/2 ,r,dz,dr,dtheta

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