Determine o fluxo de F através de S, onde F(x, y, z)=-y i+x j+6 z^2 k e S é a superfície fronteira da região limitada superiormente pelo parabolóide z=4-x^2-y^2 e inferiormente por um outro parabolóide dado por z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(-y,,x,,6z^2) através da superfície fechada S que é a fronteira da região V limitada por
zinf = x^2 + y^2 e zsup = 4 - x^2 - y^2
Como S é fechado, vamos usar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo por S num integral triplo sobre V.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
div F = partialpartial x(-y) + partialpartial y(x) + partialpartial z(6z^2) = 0 + 0 + 12z = 12z

Passo 3

Descrever V em coordenadas cilíndricas (r,theta,z).
Temos
z varia de r^2 até 4 - r^2, r^2 <= 4 - r^2 ;Longrightarrow; r <= raiz2, thetain[0,2pi] é

Passo 4

Montar o integral triplo do Teorema da Divergência:
integral duplaSFcdotn,dS = integral triplaV (div F),dV = integral0^2piintegral0^raiz2integralz=r^2^4-r^2 12z,r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integrar em z:
integralz=r^2^4-r^212z,r,dz =12r[z^22]r^2^4-r^2 =6rl((4-r^2)^2 - (r^2)^2r) =6r,(16 -8r^2)

Passo 6

Integrar em r:
integral0^raiz26r,(16-8r^2),dr =integral0^raiz2(96r-48r^3),dr =l[48r^2 -12r^4r]0^raiz2 =48cdot2 -12cdot4 =96 -48 =48

Passo 7

Integrar em theta e obter o fluxo:
integral0^2pi48,dtheta =48cdot2pi =96pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 96pi.

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