Encontre o volume do sólido contido na superfície
e fora da superfície
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está dentro da esfera de raio 2, definida por
e ao mesmo tempo fora do cilindro gerado pela curva plana
O conteúdo é cálculo de volume por mudança para coordenadas cilíndricas e uso de integração tripla.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
, a esfera vira
e o cilindro interno corresponde à região
. Como queremos o volume fora desse cilindro, usamos
Passo 3
O volume da esfera de raio
é bem conhecido:
Passo 4
Agora montamos o volume da parte da esfera que está dentro de
. Note que isso só existe quando
, ou seja
. Assim
Passo 5
Fazendo primeiro a integral em
,
logo
Para a integral em
use
,
, e obtém-se
Passo 6
Restou integrar em
theta :
Como
integral0^pi2sin^3theta,dtheta=tfrac23 , vem
Passo 7
Finalmente