Encontre o volume do sólido contido na superfície r^2+z^2=4 e fora da superfície r=2 cos theta.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro da esfera de raio 2, definida por
r^2+z^2=4,
e ao mesmo tempo fora do cilindro gerado pela curva plana
r=2costheta
O conteúdo é cálculo de volume por mudança para coordenadas cilíndricas e uso de integração tripla.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a esfera vira r^2+z^2<=4 e o cilindro interno corresponde à região r<=2costheta. Como queremos o volume fora desse cilindro, usamos
V ;=; Vesfera ;-; Vdentro do cilindro,cap,esfera

Passo 3

O volume da esfera de raio 2 é bem conhecido:
Vesfera =tfrac43pi,(2)^3 =tfrac323,pi

Passo 4

Agora montamos o volume da parte da esfera que está dentro de r<=2costheta. Note que isso só existe quando costheta>=0, ou seja -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Assim
Vin =integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2costheta integralz=-raiz4-r^2^raiz4-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Fazendo primeiro a integral em z,
integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2dz =2raiz4-r^2,
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Vin =integral-pi2^pi2 integral0^2costheta 2,rraiz4-r^2;dr,dtheta
Para a integral em r use u=4-r^2, du=-2r,dr, e obtém-se
integral0^2costheta2,rraiz4-r^2,dr =163l(1-l|sin^3thetar|r)

Passo 6

Restou integrar em theta:
Vin =163 integral-pi2^pi2 l(1-lvertsin^3thetarvertr),dtheta =163l(pi-2!integral0^pi2sin^3theta,dthetar)
Como integral0^pi2sin^3theta,dtheta=tfrac23, vem
Vin =163l(pi-tfrac43r) =48pi-649

Passo 7

Finalmente
V =Vesfera-Vin =323pi-48pi-649 =48pi+649 =169,(3pi+4)

Resposta

V=169,l(3pi+4r)

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