Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla no plano cartesiano:
O objetivo é calcular essa integral convertendo para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar saber como mudar de coordenadas cartesianas para polares, entender a região de integração e aplicar as fórmulas corretas durante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. O limite externo para
vai de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 até
. Isso descreve a parte superior direita de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Passo 3
Agora, vamos converter esses limites para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Como estamos no círculo de raio 1,
vai de 0 a 1. E como estamos no primeiro quadrante,
vai de 0 a
.
Passo 4
Vamos também converter o integrando
para coordenadas polares. Sabemos que
, então o integrando fica:
Passo 5
Ao mudar para coordenadas polares, não podemos esquecer do fator de conversão, que é o jacobiano
. Portanto, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos uma substituição
, então
ou
. A integral fica:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.