Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 cos (x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla no plano cartesiano:
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 cos (x^2+y^2) , dx , dy
O objetivo é calcular essa integral convertendo para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar saber como mudar de coordenadas cartesianas para polares, entender a região de integração e aplicar as fórmulas corretas durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. O limite externo para y vai de 0 a 1, e para cada y , x varia de 0 até raiz1 - y^2 . Isso descreve a parte superior direita de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Passo 3

Agora, vamos converter esses limites para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Como estamos no círculo de raio 1, r vai de 0 a 1. E como estamos no primeiro quadrante, theta vai de 0 a pi2 .

Passo 4

Vamos também converter o integrando cos(x^2 + y^2) para coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2 , então o integrando fica:
cos(r^2)

Passo 5

Ao mudar para coordenadas polares, não podemos esquecer do fator de conversão, que é o jacobiano r . Portanto, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral0^pi2 integral0^1 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r cos(r^2) , dr
Fazemos uma substituição u = r^2 , então du = 2r , dr ou du2 = r , dr . A integral fica:
12 integral0^1 cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^1 = 12 (sin(1) - sin(0)) = 12 sin(1)
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 12 sin(1) , dtheta = 12 sin(1) cdot [ theta ]0^pi2 = 12 sin(1) cdot pi2 = pi sin(1)4

Resposta

O valor da integral é dfracpi cdot sin(1)4 .

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