Determine o limite:
lim x longrightarrow 2 x^2-4|x-2|

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto2x^2-4|x-2|
O conteúdo aqui é análise de limites com valor absoluto, o que exige dividir em duas situações (à direita e à esquerda de x=2) para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador usando a diferença de quadrados:
x^2-4 = (x-2)(x+2)
Logo a expressão fica
x^2-4|x-2| = (x-2)(x+2)|x-2|

Passo 3

Para x>2, temos |x-2| = x-2. Assim
(x-2)(x+2)|x-2| = (x-2)(x+2)x-2 = x+2
Tomando o limite pela direita:
limxto2^+(x+2) = 4

Passo 4

Para x<2, temos |x-2| = -(x-2). Então
(x-2)(x+2)|x-2| = (x-2)(x+2)-(x-2) = -(x+2)
Tomando o limite pela esquerda:
limxto2^-[-(x+2)] = -4

Passo 5

Como
limxto2^+x^2-4|x-2| = 4 e limxto2^-x^2-4|x-2| = -4,
os limites laterais são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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