Determine o limite:
lim x longrightarrow pi sin (2 x)x-pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite de uma função que, à primeira vista, dá forma indeterminada:
limxtopisin(2x)x-pi
Este é um problema de cálculo de limite de quociente cujo numerador e denominador se anulam em x=pi. Vamos usar a regra de l\’Hôpital, que diz que, em caso de forma 0/0, podemos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=pi,
sin(2pi)=0 e pi-pi=0,
portanto temos a forma tfrac00 e podemos aplicar a regra de l\’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
– Numerador: ddx[sin(2x)]=2cos(2x)
– Denominador: ddx[,x-pi,]=1
Pela regra de l\’Hôpital,
limxtopisin(2x)x-pi =limxtopi2cos(2x)1 =2cos(2pi)

Passo 4

Como cos(2pi)=1, o valor do limite é
2cdot1=2

Resposta

2

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