Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^a integral0^raizmu^2-x^2 d y d x(1+x^2+y^2)^3 / 2 (a>0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I(a,mu)=integral0^a!integral0^raizmu^2-x^2dy,dxl(1+x^2+y^2r)^3/2,
onde a>0 e assumimos a<=mu (caso contrário o segundo limite anula para x>mu).
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e cálculo de uma integral em duas variáveis usando a forma x=rcostheta, y=rsintheta.

Passo 2

Expressamos o integrando em coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta,
e
1+x^2+y^2=1+r^2
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dy,dxl(1+x^2+y^2r)^3/2 =r,dr,dtheta(1+r^2)^3/2

Passo 3

Precisamos descrever a região R em (r,theta):
  • O primeiro quadrante dá 0<=theta<=pi/2.
  • A condição y<=raizmu^2-x^2 é r<=mu.
  • A condição 0<= x<= a é rcostheta<= a, ou seja r<= a/costheta.
    Como a<=mu, para ângulos pequenos a/costheta>=mu, enquanto para ângulos maiores a/costheta<=mu. Defina
theta0=arccosamuin[0,pi/2]
Então para
0<=theta<=theta0, rin[0,mu], theta0<=theta<=pi/2, rinl[0,,a/costhetar]

Passo 4

Escrevemos
I(a,mu) =integral0^theta0 !integral0^mu r,dr,dtheta(1+r^2)^3/2 ;+; integraltheta0^pi/2 !integral0^a/costheta r,dr,dtheta(1+r^2)^3/2
Focamos na integral em r:
integral0^Rr,dr(1+r^2)^3/2 =l[-1raiz1+r^2r]0^R =1-1raiz1+R^2

Passo 5

Aplicando esse resultado em cada parte:
  1. Para 0<=theta<=theta0, R=mu, o contribuído é
integral0^theta0l(1-1raiz1+mu^2r)dtheta =theta0l(1-1raiz1+mu^2r)
  1. Para theta0<=theta<=pi/2, R=a/costheta, o contribuído é
integraltheta0^pi/2l(1-1raiz1+(a/costheta)^2r)dtheta =l(pi2-theta0r); -;integraltheta0^pi/2dthetaraiz1+a^2/cos^2theta
No segundo termo fazemos u=sintheta, du=costheta,dtheta, e observa-se que
integraldthetaraiz1+a^2cos^2theta =integralcostheta,dthetaraiza^2+cos^2theta =arcsin!l(sinthetaraiz1+a^2r)
Avaliando de theta0 a pi/2 e simplificando as funções inversas, chega–se ao resultado compacto abaixo.

Resposta

Para 0<a<=mu definindo theta0=arccos!l(a/mur), obtém-se por conta de todas as somas e simplificações finais:
boxed I(a,mu) =arctan(a) ;+;arctan!l(raizmu^2-a^2a,raiz1+mu^2r) ;-;theta0raiz1+mu^2,
onde theta0=arccos!amu

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