Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e assumimos
(caso contrário o segundo limite anula para
).
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e cálculo de uma integral em duas variáveis usando a forma ,
.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e cálculo de uma integral em duas variáveis usando a forma
Passo 2
Expressamos o integrando em coordenadas polares:
e
Logo
Passo 3
Precisamos descrever a região
em
:
- O primeiro quadrante dá
. - A condição
é . - A condição
é , ou seja .
Como, para ângulos pequenos , enquanto para ângulos maiores . Defina
Então para
Passo 4
Escrevemos
Focamos na integral em
:
Passo 5
Aplicando esse resultado em cada parte:
- Para
, , o contribuído é
- Para
, , o contribuído é
No segundo termo fazemos
,
, e observa-se que
Avaliando de
a
e simplificando as funções inversas, chega–se ao resultado compacto abaixo.
Resposta
Para
definindo
, obtém-se por conta de todas as somas e simplificações finais:
onde