Determine o limite:
lim x longrightarrow 1 ln (x)1-x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1ln(x)1-x
O conteúdo envolvido é limite de função com forma indeterminada do tipo tfrac00, e vamos usar a regra de L’Hôpital (ou expansão em série) para resolver.

Passo 2

Verificamos que, ao fazer xto1, o numerador ln(x)toln(1)=0 e o denominador 1-xto0. Logo temos a forma indeterminada tfrac00 e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que consiste em derivar numerador e denominador.

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador, obtemos
ddxl[ln(x)r]=1x, ddx[,1 - x,]=-1
Pelo L’Hôpital,
limxto1ln(x)1-x =limxto11x-1 =-limxto11x =-1

Passo 4

Como alternativa, pela expansão em série de Taylor em torno de x=1:
ln(x)=(x-1)-tfrac(x-1)^22+cdots,
então
ln(x)1-x =(x-1)+o(x-1)-(x-1) =-1+o(1) to -1

Resposta

-1

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