Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 arctg yx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^3integral0^raiz9 - x^2arctangl(yxgr),dy,dx
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo que vamos usar é a substituição
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = dy,dx = r,dr,dtheta,
além de reconhecer que arctan(y/x)=theta no primeiro quadrante.

Passo 2

Identificamos a região de integração em termos de (x,y):
0 <= x <= 3, 0 <= y <= raiz9 - x^2,
que é o setor circular de raio 3 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares isso vira
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= pi2

Passo 3

Substituímos a função e o elemento de área:
arctanl(tfracyxr)=theta, dy,dx = r,dr,dtheta
Logo a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^3theta,r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^3r,dr = r^22g|0^3 = 92
Assim a integral passa a ser
92integral0^pi/2theta,dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/2theta,dtheta = theta^22g|0^pi/2 = 12,l(pi2r)^2 = pi^28
Multiplicando pelo fator tfrac92
92cdotpi^28 = 9pi^216

Resposta

9pi^216

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