Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 4(x^2+y^2) d y d x
Resposta: pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-1^1integral0^raiz1-x^24l(x^2+y^2r),dy,dx
usando conversão para coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, com
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Identificamos a região de integração R como a metade superior do disco de raio 1. Em coordenadas polares:
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= pi
Logo, a integral em coordenadas polares fica
integraltheta=0^piintegralr=0^14l((rcostheta)^2+(rsintheta)^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Dentro da integral, (rcostheta)^2+(rsintheta)^2=r^2. Portanto o integrando se simplifica para
4,r^2cdot r = 4,r^3
A integral torna-se
integral0^piintegral0^14,r^3,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^14,r^3,dr =4[r^44]0^1 =4cdot14 =1

Passo 5

Em seguida integramos em theta:
integral0^pi1,dtheta = pi

Resposta

pi

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