Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
Seja g(r, s)=arctg(r s), (1,2), v=(5,10).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
g(r,s)=arctg(r,s)
no ponto (r,s)=(1,2) na direção do vetor v=(5,10).
Para isso usaremos o gradiente de g e a fórmula
Dug(p) = nabla g(p)cdot u,
onde u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g por r e s usando a regra da cadeia:
partial gpartial r =ddrl(arctg(r,s)r) =s1+(r,s)^2,
partial gpartial s =ddsl(arctg(r,s)r) =r1+(r,s)^2

Passo 3

Avaliaremos essas parciais em (r,s)=(1,2). Como r,s=1cdot2=2, temos 1+(r,s)^2=1+4=5. Logo,
partial gpartial r(1,2)=25, partial gpartial s(1,2)=15
Portanto
nabla g(1,2)=l(tfrac25,,tfrac15r)

Passo 4

O vetor v=(5,10) tem norma
|v|=raiz5^2+10^2=raiz125=5raiz5
O vetor unitário é
u =v|v| =l(tfrac55raiz5,,tfrac105raiz5r) =l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
Dug(1,2) =nabla g(1,2)cdotu =25,1raiz5 +15,2raiz5 =2+25raiz5 =45raiz5

Resposta

Dvg(1,2) =45raiz5
(ou, racionalizando), 4raiz525

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