Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares:
integralraiz2 / 2^1 integralraiz1-x^2^x 1raizx^2+y^2 d y d x
Resposta: integral0^pi / 4 integral1^1 / cos theta d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral iterada em coordenadas polares. Isso faz parte de cálculo integral, onde usamos coordenadas polares para facilitar a resolução de integrais em certas regiões. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) pode ser representado como (r cos theta, r sin theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x. A diferencial de área dx, dy em polares vira r, dr, dtheta.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração originais:
  • x varia de raiz2/2 até 1.
  • Para cada x, y varia de raiz1 - x^2 até x.
Isso descreve uma região no primeiro quadrante limitada por uma parte da circunferência x^2 + y^2 = 1 e a linha y = x.

Passo 4

Em coordenadas polares:
  • A linha y = x corresponde a theta = pi/4.
  • A circunferência x^2 + y^2 = 1 corresponde a r = 1.
Para os limites de r, quando x = 1, r atinge seu máximo. A expressão 1/cos theta vem da transformação de x = r cos theta e do limite x <= 1, então r <= 1/cos theta.

Passo 5

Juntando tudo, os novos limites de integração em coordenadas polares ficam:
  • theta varia de 0 até pi/4.
  • Para cada theta, r varia de 1 até 1/cos theta.

Resposta

integral0^pi / 4 integral1^1 / cos theta d r d theta

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