Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral iterada em coordenadas polares. Isso faz parte de cálculo integral, onde usamos coordenadas polares para facilitar a resolução de integrais em certas regiões. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. A diferencial de área
em polares vira
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração originais:
-
varia de até . - Para cada
, varia de até .
Isso descreve uma região no primeiro quadrante limitada por uma parte da circunferência
e a linha
.
Passo 4
Em coordenadas polares:
- A linha
corresponde a . - A circunferência
corresponde a .
Para os limites de
, quando
,
atinge seu máximo. A expressão
vem da transformação de
e do limite
, então
.
Passo 5
Juntando tudo, os novos limites de integração em coordenadas polares ficam:
-
varia de até . - Para cada
, varia de até .