Calcule a integral iterada, covertendo para coordenadas polares:
integral-4^4 integral0^raiz16-y^2 2 e^x^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
integral-4^4integral0^raiz16-y^22e^x^2+y^2,dx,dy
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas polares, identificação da região de integração e uso do jacobiano.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
portanto
x^2+y^2 = r^2 e dx,dy = r,dr,dtheta
O integrando 2e^x^2+y^2,dx,dy fica então 2e^r^2,r,dr,dtheta.

Passo 3

A região de integração D é dada por -4<= y<=4 e 0<= x<=raiz16-y^2. Isso é o semicírculo de raio 4 no semiplano x>=0. Em polares temos
0<= r<= 4, -pi2<= theta<= pi2

Passo 4

Substituindo tudo, a integral vira
integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^42e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 5

Para a parte em r fazemos u=r^2, de modo que du=2r,dr. Assim
integral0^42r,e^r^2,dr =integralu=0^16e^u,du =e^16-1

Passo 6

A integral em theta é imediata:
integral-pi/2^pi/2dtheta =pi
Multiplicando, o valor total é pi,(e^16-1).

Resposta

pi(e^16-1)

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