Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
f(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2
O conteúdo é curvas de nível de uma superfície definida por um radical que limita o domínio. Vamos impor valores constantes a f e descrever as curvas resultantes no plano xy.

Passo 2

Para cada valor de nível C (com 0<= C<=6), definimos a curva de nível pela equação
f(x,y)=C,
isto é,
raiz36-9x^2-4y^2=C

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
36-9x^2-4y^2=C^2 Longrightarrow 9x^2+4y^2=36-C^2
Para que haja curva real, precisamos de 36-C^2>=0, ou seja 0<= C<=6.

Passo 4

Rewrite a relação acima na forma padrão de elipse:
x^2l(36-C^29r)+y^2l(36-C^24r)=1
Assim a curva de nível f(x,y)=C é a elipse centrada em (0,0) com semi-eixos
a=raiz36-C^29=raiz36-C^23, b=raiz36-C^24=raiz36-C^22

Passo 5

Tomando alguns valores típicos de C:
C=0:& 9x^2+4y^2=36l(a=2,;b=3r), C=2:& 9x^2+4y^2=32l(a=tfracraiz323,;b=tfracraiz322r), C=4:& 9x^2+4y^2=20l(a=tfracraiz203,;b=tfracraiz202r), C=6:& 9x^2+4y^2=0l(a=0,;b=0r) (ponto só) ó
Cada elipse vai “encolhendo” até se reduzir ao ponto (0,0) quando C=6.

Resposta

O mapa de contornos de f é formado por elipses concêntricas centradas em (0,0) definidas pela família
9x^2+4y^2=36-C^2, 0<= C<=6,
com semi-eixos tfracraiz36-C^23 e tfracraiz36-C^22, que diminuem à medida que C cresce.

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