Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível.
Seja
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contornos (curvas de nível) da função
O conteúdo é curvas de nível de uma superfície definida por um radical que limita o domínio. Vamos impor valores constantes a
e descrever as curvas resultantes no plano
.
Passo 2
Para cada valor de nível
(com
), definimos a curva de nível pela equação
isto é,
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Para que haja curva real, precisamos de
, ou seja
.
Passo 4
Rewrite a relação acima na forma padrão de elipse:
Assim a curva de nível
é a elipse centrada em
com semi-eixos
Passo 5
Tomando alguns valores típicos de
:
Cada elipse vai “encolhendo” até se reduzir ao ponto
quando
.
Resposta
O mapa de contornos de
é formado por elipses concêntricas centradas em
definidas pela família
com semi-eixos
e
, que diminuem à medida que
cresce.