Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=3. Esboce o sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=3. O conteúdo que vamos usar é cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas, pois a simetria radial do cilindro facilita o cálculo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi e 0 <= z <= 3. O elemento de volume é
dV = r,dr,dtheta,dz
Logo o volume é dado por
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^3 r ,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^3dz = 3,
então
V = integral0^2piintegral0^13,r,dr,dtheta = 3integral0^2pidthetaintegral0^1r,dr
Calculando as integrais de r e theta:
integral0^1r,dr = tfrac12, integral0^2pidtheta = 2pi,
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V = 3 times tfrac12 times 2pi = 3pi

Passo 4

O esboço do sólido é um cilindro reto de base circular de raio 1 e altura 3. No plano z=0 e no plano z=3 aparecem dois círculos congruentes de raio 1, ligados por uma superfície lateral vertical.

Resposta

V = 3pi

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