Determine as derivadas parciais indicadas.
Seja u=x^y / z ; partial^2 upartial y partial z.

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista partial^2upartial ypartial z para a função
u = x^,y/z
O conteúdo envolve diferenciação de funções compostas de várias variáveis, usando regra da cadeia e diferenciação logarítmica.

Passo 2

Reescrevemos u em forma exponencial para facilitar a derivada:
u = x^,y/z = exp!l(tfracyzln xr)
Definimos
f(y,z) = yz,ln x,
de modo que
u = e^f(y,z),
e valerá a relação
partial upartial z = u ,partial fpartial z

Passo 3

Calculamos primeiro partial fpartial z. Como
f(y,z) = y,z^-1ln x,
temos
partial fpartial z = yln x ,ddz(z^-1) = -yln xz^2
Logo
partial upartial z = u cdot l(-tfracyln xz^2r) = -yln xz^2;x^,y/z

Passo 4

Agora derivamos esse resultado em relação a y:
partial^2upartial ypartial z = partialpartial yl(-tfracyln xz^2;x^,y/zr)
Aqui aplicamos a regra do produto e usamos
partialpartial yl(x^,y/zr) = x^,y/z,ln xz

Passo 5

Fazendo as contas:
partial^2upartial ypartial z = -ln xz^2;x^,y/z ;-;yln xz^2;x^,y/z;ln xz = -ln xz^2,x^,y/z - y(ln x)^2z^3,x^,y/z
Colocando sob denominador comum e fatorando x^y/zln x, temos
partial^2upartial ypartial z = -,x^,y/z,ln xz^2l(1+tfracyln xzr)

Resposta

partial^2upartial ypartial z = -ln xz^2,x^,y/z - y(ln x)^2z^3,x^,y/z

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