Use a Regra da Cadeia para encontrar d z / d t ou d w / d t.
Seja z=ln raizx^2+y^2+z^2, x=sen t, y=cos t, z=tg t.

Passo 1

O exercício nos dá uma função composta e pede dw/dt onde
A variável dependente é
w = ln raizx^2 + y^2 + z^2
e as variáveis internas são
x = sin t, y = cos t, z = tan t
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia em várias etapas: primeiro identificamos a composição de funções e depois derivamos cada parte.

Passo 2

Para aplicar a Regra da Cadeia, definimos
u = x^2 + y^2 + z^2
e então escrevemos
w = ln raizu = tfrac12 ln u
Dessa forma
dwdt = dwdu cdot dudt
e como dw/du = tfrac12 cdot 1/u = 1/(2u), teremos
dwdt = 12u cdot dudt

Passo 3

Agora vamos achar du/dt. Como u = x^2 + y^2 + z^2, usamos derivada de soma e regra do produto:
dudt = 2xdxdt + 2ydydt + 2zdzdt

Passo 4

Precisamos das derivadas de cada variável em função de t:
dxdt = cos t, dydt = -sin t, dzdt = sec^2 t

Passo 5

Substituindo em du/dt:
$$\frac{du}{dt} = 2\bigl(x\cos t + y(-\sin t) + z\sec^2 t\bigr).
$$
E lembrando que dudt = 2l(xcos t + y(-sin t) + zsec^2 tr) .

Passo 6

Agora juntamos tudo em dw/dt:
dwdt = 12u cdot 2l(xcos t - ysin t + zsec^2 tr) = xcos t - ysin t + zsec^2 tx^2 + y^2 + z^2

Passo 7

Finalmente, substituímos x=sin t, y=cos t e z=tan t:
no numerador:
sin tcos t - cos tsin t + tan tsec^2 t = tan tsec^2 t,
e no denominador:
sin^2 t + cos^2 t + tan^2 t = 1 + tan^2 t = sec^2 t
Logo
dwdt = tan tsec^2 tsec^2 t = tan t

Resposta

tan t

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