Calcule a integral iterada.
d) integral1^4 integral1^2(xy+yx) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral1^4integral1^2l(xy+yxr),dy,dx
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas sobre um retângulo, usando a propriedade de linearidade da integral iterada. Vamos primeiro integrar em y (a integral interna) e depois em x.

Passo 2

Começamos pela integral interna em y:
integral1^2l(xy+yxr),dy = integral1^2xy,dy ;+;integral1^2yx,dy
Por linearidade,
integral1^2xy,dy = xintegral1^21y,dy = xl[ln(y)r]1^2 = xln(2),
e
integral1^2yx,dy =1xintegral1^2y,dy =1xl[y^22r]1^2 =1xl(4-12r) =32x
Portanto a integral interna vale
xln(2)+32x

Passo 3

Agora integramos em x de 1 a 4:
integral1^4l(xln(2)+32xr),dx =ln(2)integral1^4x,dx +32integral1^41x,dx
Calculando cada parte:
integral1^4x,dx =l[x^22r]1^4 =16-12 =152,
integral1^41x,dx =l[ln(x)r]1^4 =ln(4)-ln(1) =2ln(2)
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ln(2)cdot152 +32cdot 2ln(2) =152ln(2)+3ln(2) =212ln(2)

Resposta

212ln(2)

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