Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime+4 y=2 sin (2 t), y(0)=2, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 4y = 2sin(2t), y(0)=2, y'(0)=-1
e pede a solução y(t) usando transformada de Laplace.
O conteúdo principal é: aplicar L em cada termo da EDO, usar condições iniciais e inverter a transformada para achar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 4y = 2sin(2t)
Pela linearidade e pelas fórmulas
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s), Lsin(2t) = 2s^2+4,
obtemos
s^2Y(s) - scdot2 - (-1) ;+; 4Y(s) ;=; 2cdot2s^2+4

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e substituindo as iniciais,
(s^2 + 4),Y(s) - (2s - 1) = 4s^2+4,
então
Y(s) = 2s - 1s^2 + 4 + 4(s^2 + 4)^2

Passo 4

Separamos Y(s) em parcelas que reconhecemos na tabela:
2ss^2+4 - 1s^2+4 + 4(s^2+4)^2
Sabemos que
L^-12s/(s^2+4)=2cos(2t),
L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t),
e também
L^-11(s^2+a^2)^2 = 12a^3l[sin(at)-a,tcos(at)r]
Aqui a=2, então
L^-14(s^2+4)^2 =4cdot12cdot2^3l[sin(2t)-2tcos(2t)r] =14sin(2t)-12,tcos(2t)

Passo 5

Somando as inversas das parcelas,
y(t) =2cos(2t) -12sin(2t) +l(14sin(2t)-12,tcos(2t)r) =(2-tfrac12,t)cos(2t)-tfrac14sin(2t)

Resposta

y(t)=l(2-t2r)cos(2t)-14sin(2t)

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