Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime-3 y^prime-2 y=3 t e^2 t, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' - 2y = 3,t,e^2t, y(0)=1, y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos converter a EDO em uma equação algébrica para Y(s)= Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly' = s,Y(s) - y(0)
Logo,
Ly'' - 3, Ly' -2, Ly = (s^2Y - scdot1 - 0) -3,(sY -1) -2Y

Passo 3

Em paralelo,
L3,t,e^2t = 3, Lt,e^2t = 3(s-2)^2
Igualando à transformada do lado esquerdo, obtemos
s^2Y - s -3sY +3 -2Y = 3(s-2)^2,
isto é
(s^2 -3s -2),Y(s) - s +3 = 3(s-2)^2 Longrightarrow Y(s) = s -3s^2 -3s -2 + 3(s-2)^2,(s^2 -3s -2)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
3(s-2)^2,(s^2-3s-2) = As-2 + B(s-2)^2 + C,s + Ds^2 -3s -2
Resolvendo o sistema para A,B,C,D, achamos
A = -316, B = -34, C = 316, D = 916
Então
Y(s) = s -3s^2 -3s -2 - 316,1s-2 - 34,1(s-2)^2 + tfrac316s + tfrac916s^2 -3s -2

Passo 5

Reagrupamos os termos sobre s^2 - 3s - 2 e invertemos cada parcela:
1. L^-1!ltfrac1s-2r = e^2t.
2. L^-1!ltfrac1(s-2)^2r = t,e^2t.
3. Para
19s - 3916,(s^2 - 3s - 2) completamos o quadrado em s^2 - 3s - 2 = (s - tfrac32)^2 - (tfracraiz172)^2 e usamos
L^-1!ls - a(s - a)^2 - b^2r = e^a t cosh(b t), L^-1!lb(s - a)^2 - b^2r = e^a t sinh(b t)

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
y(t) = -316,e^2t -34,t,e^2t +116,e^tfrac32 tl[ 19coshl(tfracraiz172tr) -21raiz17sinhl(tfracraiz172tr) r]

Resposta

boxed y(t) =-316e^2t -34t,e^2t +e^tfrac32 t16l( 19cosh!tfracraiz172t -tfrac21raiz17sinh!tfracraiz172t r)

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