Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x, d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral iterada
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x \,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração múltipla (Fubini) e vamos resolver integrando sucessivamente nas variáveis z, depois y e, por fim, x.

Passo 2

Integramos primeiro em relação a z, tratando x como constante:
\int_{0}^{3} x \,dz = x \int_{0}^{3} dz = 3x.

Passo 3

Agora integramos o resultado em relação a y, em que 3x é constante:
\int_{0}^{2} 3x \,dy = 3x \int_{0}^{2} dy = 3x \cdot 2 = 6x.

Passo 4

Por fim, integramos em relação a x:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6x \,dx = 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx = 6 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 3 \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} = \frac{3\pi^{2}}{4}.

Resposta

\frac{3\pi^{2}}{4}.

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