Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x, d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x \,dz\,dy\,dx.
Isto é um caso de aplicação do Teorema de Fubini em integrais múltiplas: como a função integrando depende apenas de x, podemos integrar “por partes”, começando em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos primeiro em z, de 0 a 3. Como \,dz afeta apenas o comprimento do intervalo e x é constante em relação a z, temos
\int_{0}^{3} x \,dz = x \int_{0}^{3} 1\,dz = x\cdot 3 = 3x.

Passo 3

Agora integramos em y, de 0 a 2, sobre o resultado do passo anterior:
\int_{0}^{2} 3x \,dy = 3x \int_{0}^{2} 1\,dy = 3x\cdot 2 = 6x.

Passo 4

Por fim, integramos em x, de 0 a \pi/2, usando o resultado de 6x:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6x \,dx = 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx = 6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 6 \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} = 3 \cdot \frac{\pi^{2}}{4} = \frac{3\pi^{2}}{4}.

Resposta

\frac{3\pi^{2}}{4}

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