Q5: Encontre os máximos e mínimos.
\begin{aligned} & f(x, y)=y^{2}-x^{2}, 1 / 4 x^{2}+y^{2}=1 \\\ & f(x, y)=e^{\wedge}(x y), x^{3}+y^{3}=16 \\\ & f(x, y, z)=x y z, x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6 \\\ & f(x, y, z)=x^{2} y^{2} z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições, ou seja, usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em cada caso definimos
g(x,y,\dots)=0
como a restrição, montamos as equações
\nabla f = \lambda \,\nabla g \quad\text{e}\quad g=0
e resolvemos para (x,y,z,\lambda). Depois classificamos ponto como máximo, mínimo ou nenhum.

Passo 2

Para f(x,y)=y^2-x^2\) com restrição \(g(x,y)=\tfrac14x^2+y^2-1=0\): As equações de Lagrange são \[\begin{cases} -2x = \lambda \,\tfrac12 x,\\\\ 2y = \lambda\,2y,\\\ \tfrac14x^2+y^2=1. \end{cases}
Da segunda equação tem-se 2y=2\lambda y\], logo ou \(y=0 ou \lambda=1.
  • Se y=0, a restrição dá x^2/4=1\Rightarrow x=\pm2 e então f=-4.
  • Se \lambda=1, a primeira equação vira -2x=\tfrac12x, só possível com x=0, e então y^2=1\Rightarrow y=\pm1 e f=1.
    Logo há mínimo local f=-4 em (\pm2,0) e máximo local f=1 em (0,\pm1).

Passo 3

Para f(x,y)=e^{xy}\) com restrição \(g(x,y)=x^3+y^3-16=0\): As equações são \[\begin{cases} y\,e^{xy} = \lambda\,3x^2,\\\ x\,e^{xy} = \lambda\,3y^2,\\\ x^3+y^3=16. \end{cases}
Dividindo as duas primeiras, obtemos y/x = x^2/y^2\Rightarrow y^3=x^3\Rightarrow y=x\]. Na restrição \(2x^3=16\Rightarrow x=2, logo y=2 e f=e^{4}.
Analisando o sinal de xy na curva percebe-se que este ponto é único extremante (máximo local e global no ramo x,y\ge0), não havendo mínimo alcançado (infimum 0, não atingido).

Passo 4

Para f(x,y,z)=xyz\) com restrição \(g(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6=0\): As equações \[\begin{cases} yz = \lambda \cdot 2x,\\\ xz = \lambda \cdot 4y,\\\ xy = \lambda \cdot 6z,\\\ x^2+2y^2+3z^2=6 \end{cases}
levam a
x^2=2y^2\], \(3z^2=2y^2 e substituindo na restrição obtém-se y^2=1, x^2=2, z^2=\tfrac{2}{3}.
Assim os pontos críticos são
\bigl(\pm\sqrt{2},\pm1,\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr),
com f=xyz=\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}}. Logo máximo +\tfrac{2}{\sqrt{3}} e mínimo -\tfrac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Para f(x,y,z)=x^2y^2z^2 com restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0:
As condições são
2x\,y^2z^2 = \lambda\,2x,\quad 2y\,x^2z^2 = \lambda\,2y,\quad 2z\,x^2y^2 = \lambda\,2z,\quad x^2+y^2+z^2=1.
Se algum de x,y,z for zero, f=0. Caso contrário, divide-se e obtém-se \lvert x\rvert=\lvert y\rvert=\lvert z\rvert.
Daí 3x^2=1\Rightarrow \lvert x\rvert=1/\sqrt3 e
f = (x^2y^2z^2) = \bigl(1/\sqrt3\bigr)^6 = \tfrac1{27}.
Logo o máximo vale \tfrac1{27} em pontos \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\pm\tfrac1{\sqrt3},\pm\tfrac1{\sqrt3}\bigr) e o mínimo é 0, atingido sempre que xyz=0.

Resposta

1) f=y^2-x^2 sobre \tfrac14x^2+y^2=1:
máximo f=1 em (0,\pm1);
mínimo f=-4 em (\pm2,0).
2) f=e^{xy} sobre x^3+y^3=16:
máximo local e global f=e^4 em (2,2);
não há mínimo atingido (infimum 0).
3) f=xyz sobre x^2+2y^2+3z^2=6:
extremos em \bigl(\pm\sqrt2,\pm1,\pm\sqrt{\tfrac23}\bigr) com
máximo +\tfrac{2}{\sqrt3} e mínimo -\tfrac{2}{\sqrt3}.
4) f=x^2y^2z^2 sobre x^2+y^2+z^2=1:
máximo f=\tfrac1{27} em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\pm\tfrac1{\sqrt3},\pm\tfrac1{\sqrt3}\bigr);
mínimo f=0 sempre que um dos componentes for zero.

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