Q5: Encontre os máximos e mínimos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições, ou seja, usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em cada caso definimos
Em cada caso definimos
como a restrição, montamos as equações
e resolvemos para
. Depois classificamos ponto como máximo, mínimo ou nenhum.
Passo 2
Para
Da segunda equação tem-se
ou
.
- Se
, a restrição dá e então . - Se
, a primeira equação vira , só possível com , e então e .
Logo há mínimo localem e máximo local em .
Passo 3
Para
Dividindo as duas primeiras, obtemos
, logo
e
.
Analisando o sinal de na curva percebe-se que este ponto é único extremante (máximo local e global no ramo
), não havendo mínimo alcançado (infimum
, não atingido).
Analisando o sinal de
Passo 4
Para
levam a
e substituindo na restrição obtém-se ,
,
.
e substituindo na restrição obtém-se
Assim os pontos críticos são
,
com . Logo máximo
e mínimo
.
com
Passo 5
Para
com restrição
:
As condições são
As condições são
Se algum de
for zero,
. Caso contrário, divide-se e obtém-se
.
Daí e
Daí
Logo o máximo vale
em pontos
e o mínimo é
, atingido sempre que
.
Resposta
máximo
mínimo
máximo local e global
não há mínimo atingido (infimum
extremos em
máximo
máximo
mínimo