Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}(x+y+z) d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada em três variáveis e vamos usar antiderivadas para integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz = (x+y)\,z + \frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{x+y} = (x+y)^2 + \frac{(x+y)^2}{2} = \frac{3}{2}(x+y)^2.
Com isso, a integral passa a ser
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} \frac{3}{2}(x+y)^2\,dy\,dx.

Passo 3

Fatoramos \tfrac{3}{2} e integramos em y:
\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy.
Fazendo u = x+y, du = dy, os limites vão de u=x a u=2x, logo
\int_{x}^{2x}u^2\,du = \frac{u^3}{3}\Big|_{x}^{2x} = \frac{8x^3 - x^3}{3} = \frac{7}{3}x^3.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} \frac{3}{2}\cdot\frac{7}{3}\,x^3\,dx = \int_{0}^{1} \frac{7}{2}\,x^3\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1} \frac{7}{2}\,x^3\,dx = \frac{7}{2}\cdot \frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1} = \frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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