Calcule a integral iterada:
\int_{-1}^{0} \int_{e}^{2 e} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} y(\ln z)(\tan x) d x d z d y.

Passo 1

Estamos calculando a integral iterada
\int_{y=-1}^{0}\int_{z=e}^{2e}\int_{x=0}^{\pi/3}y\,(\ln z)\,(\tan x)\;dx\,dz\,dy.
O domínio é um produto de três intervalos e o integrando é um produto de funções de x, z e y separadas. Vamos usar a propriedade de separação de variáveis para escrever essa tripla integral como o produto de três integrais simples.

Passo 2

Aplicando a separação, obtemos
\int_{-1}^{0}\int_{e}^{2e}\int_{0}^{\pi/3}y\,(\ln z)\,(\tan x)\;dx\,dz\,dy =\Bigl(\int_{0}^{\pi/3}\tan x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{e}^{2e}\ln z\,dz\Bigr)\, \Bigl(\int_{-1}^{0}y\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{\pi/3}\tan x\,dx.
Como \displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\bigl|\cos x\bigr|, temos
\int_{0}^{\pi/3}\tan x\,dx =\bigl[-\ln\cos x\bigr]_{0}^{\pi/3} =-\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)+\ln\!(1) =\ln2.

Passo 4

Agora
\int_{e}^{2e}\ln z\,dz.
Sabe-se que \displaystyle\int\ln z\,dz=z\ln z -z. Logo
\int_{e}^{2e}\ln z\,dz =\bigl[\,z\ln z -z\,\bigr]_{e}^{2e} =\bigl(2e\ln(2e)-2e\bigr)-\bigl(e\ln e -e\bigr) =2e\ln2.

Passo 5

Finalmente
\int_{-1}^{0}y\,dy.
Como \displaystyle\int y\,dy=\tfrac{y^2}{2}, obtemos
\int_{-1}^{0}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =0-\tfrac{1}{2} =-\tfrac12.

Passo 6

Multiplicando os três resultados:
\Bigl(\int_{0}^{\pi/3}\tan x\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{e}^{2e}\ln z\,dz\Bigr) \Bigl(\int_{-1}^{0}y\,dy\Bigr) =(\ln2)\,(2e\ln2)\,\bigl(-\tfrac12\bigr) =-e\,(\ln2)^2.

Resposta

-e\,(\ln2)^2.

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