Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral1^2x,e^xy,dy,dx
O conteúdo aqui é integração iterada e uso da separabilidade: como x,e^x independe de y, podemos puxá-lo para fora da integral em y.

Passo 2

Calcule primeiro a integral interna em y, tratando x,e^x como constante:
integral1^2x,e^xy,dy = x,e^xintegral1^21y,dy = x,e^xl[ln yr]1^2 = x,e^xl(ln 2- ln 1r) = x,e^xln 2

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
integral0^1x,e^xln 2,dx = ln 2integral0^1x,e^x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1x,e^x,dx, use integração por partes com u=x e dv=e^x,dx:
u=x, du=dx, dv=e^x,dx, v=e^x,
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C
Avaliando de 0 a 1:
l[e^x(x-1)r]0^1 = ecdot(1-1) - 1cdot(0-1) = 0 - (-1) =1
Então integral0^1x,e^x,dx=1.

Resposta

ln 2

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