Seja f(x, y)=x^2 y^2x^2+y^2.
Calcule as derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), num ponto (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=x^2y^2x^2+y^2,
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (x,y)neq(0,0). Vamos usar a regra do quociente: se f=N/D então
partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2,
e analogamente para partial f/partial y.

Passo 2

Definindo
N(x,y)=x^2y^2, D(x,y)=x^2+y^2,
temos
partial N/partial x=2x,y^2
e
partial D/partial x=2x.
Logo, aplicando a regra do quociente,
partial fpartial x = 2x,y^2,(x^2+y^2) - x^2y^2cdot 2x(x^2+y^2)^2 = 2x,y^2l((x^2+y^2)-x^2r)(x^2+y^2)^2 = 2x,y^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora para partial f/partial y:
partial N/partial y=2y,x^2
e
partial D/partial y=2y.
Novamente pela regra do quociente,
partial fpartial y = 2y,x^2,(x^2+y^2) - x^2y^2cdot 2y(x^2+y^2)^2 = 2y,x^2l((x^2+y^2)-y^2r)(x^2+y^2)^2 = 2x^4,y(x^2+y^2)^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) = 2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) = 2x^4,y(x^2+y^2)^2,
para todo (x,y)neq(0,0).

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