Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
. Depois disso, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função
é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca. A função
é uma reta que passa pela origem e sobe inclinado. E
é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 4.
Passo 3
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os limites da região. Vamos igualar
para achar onde a hipérbole e a reta se encontram:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Dividindo os dois lados por 2:
Então,
. Mas como estamos trabalhando com
, vamos considerar apenas
como o ponto de interseção relevante no intervalo positivo.
Passo 4
Agora, sabemos que a região está limitada entre
e
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nesse intervalo.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra no intervalo
. Testando
:
Aqui,
está acima de
, então a área será:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 4:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
,
e
é
unidades quadradas.