Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=8x, y=2 x, x=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas curvas y = 8x , y = 2x e pela reta vertical x = 4 . Depois disso, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função y = 8x é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca. A função y = 2x é uma reta que passa pela origem e sobe inclinado. E x = 4 é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 4.

Passo 3

Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os limites da região. Vamos igualar 8x = 2x para achar onde a hipérbole e a reta se encontram:
8x = 2x
Multiplicando ambos os lados por x para eliminar o denominador:
8 = 2x^2
Dividindo os dois lados por 2:
4 = x^2
Então, x = pm2 . Mas como estamos trabalhando com x = 4 , vamos considerar apenas x = 2 como o ponto de interseção relevante no intervalo positivo.

Passo 4

Agora, sabemos que a região está limitada entre x = 2 e x = 4 . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo nesse intervalo.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra no intervalo 2 <= x <= 4 . Testando x = 3 :
y8x = 83 approx 2,67
y2x = 2 times 3 = 6
Aqui, y2x está acima de y = 8x , então a área será:
Área = integral2^4 (2x - 8x) , dx Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (2x - 8x) , dx = integral 2x , dx - integral 8x , dx
Integrando termo a termo:
= x^2 - 8 ln|x| + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 4:
Área = [ x^2 - 8 ln x ]2^4 Á
Calculando em x = 4 :
4^2 - 8 ln 4 = 16 - 8 ln 4
E em x = 2 :
2^2 - 8 ln 2 = 4 - 8 ln 2
Subtraindo:
Área = (16 - 8 ln 4) - (4 - 8 ln 2) = 12 - 8 (ln 4 - ln 2) Á
Sabemos que ln 4 = 2 ln 2 , então:
Área = 12 - 8 (ln 2) = 12 - 8 ln 2 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = 8x , y = 2x e x = 4 é 12 - 8 ln 2 unidades quadradas.

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