Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as duas curvas que foram dadas na questão e descobrir qual é a área do espaço que elas formam juntas. Isso faz parte do tema de Cálculo, mais especificamente do estudo de áreas entre curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as curvas se comportam e encontrar os pontos onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que representam as curvas:
A gente precisa descobrir onde essas curvas se cruzam. Para isso, vamos igualar as duas expressões para :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se interceptam. Vamos organizar tudo para um lado:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a segunda equação :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 6
Agora, vamos entender qual curva está acima da outra entre e . Olhando para as equações:
é uma parábola que abre para a direita.
é uma reta.
Vamos ver qual dá um valor maior de para um dado :
Escolha um valor de , por exemplo, :
Para a parábola:
Para a reta:
Aqui, a reta dá um valor maior de , então a reta está à direita da parábola nesse intervalo.
Passo 7
Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral da diferença das funções que estão à direita menos as que estão à esquerda, integradas de a :
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 9
Vamos agora substituir os limites de integração:
Para :
Para :
Passo 10
Calculando as expressões:
Para :
Para y = -2 :
83 + 6 - 20 approx 2666 + 6 - 20 = -11.333
Agora, subtraímos o valor em y = -2 do valor em y = 5 :
45.833 - (-11.333) = 45.833 + 11.333 = 57.166
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas x = y^2 - y - 6 e x = 2y + 4 é aproximadamente 57,17 unidades de área.