Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
x=y^2-y-6, x=2 y+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as duas curvas que foram dadas na questão e descobrir qual é a área do espaço que elas formam juntas. Isso faz parte do tema de Cálculo, mais especificamente do estudo de áreas entre curvas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as curvas se comportam e encontrar os pontos onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que representam as curvas:
  1. x = y^2 - y - 6
  2. x = 2y + 4
A gente precisa descobrir onde essas curvas se cruzam. Para isso, vamos igualar as duas expressões para x :
y^2 - y - 6 = 2y + 4

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de y onde as curvas se interceptam. Vamos organizar tudo para um lado:
y^2 - y - 6 - 2y - 4 = 0
y^2 - 3y - 10 = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -3 e c = -10 . Substituindo:
y = 3 pm raiz9 + 402
y = 3 pm raiz492
y = 3 pm 72
Então, temos duas soluções:
  1. y = 3 + 72 = 5
  2. y = 3 - 72 = -2

Passo 5

Agora que temos os valores de y , vamos encontrar os correspondentes valores de x usando a segunda equação x = 2y + 4 :
Para y = 5 :
x = 2(5) + 4 = 10 + 4 = 14
Para y = -2 :
x = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0
Então, os pontos de interseção são (14, 5) e (0, -2) .

Passo 6

Agora, vamos entender qual curva está acima da outra entre y = -2 e y = 5 . Olhando para as equações:
  • x = y^2 - y - 6 é uma parábola que abre para a direita.
  • x = 2y + 4 é uma reta.
Vamos ver qual dá um valor maior de x para um dado y :
Escolha um valor de y , por exemplo, y = 0 :
Para a parábola:
x = 0^2 - 0 - 6 = -6
Para a reta:
x = 2(0) + 4 = 4
Aqui, a reta dá um valor maior de x , então a reta está à direita da parábola nesse intervalo.

Passo 7

Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral da diferença das funções que estão à direita menos as que estão à esquerda, integradas de y = -2 a y = 5 :
Área = integral-2^5 ( (2y + 4) - (y^2 - y - 6) ) dy Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2y + 4 - y^2 + y + 6 = -y^2 + 3y + 10

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Área = integral-2^5 (-y^2 + 3y + 10) dy Á
Integrando termo a termo:
integral (-y^2) dy = -y^33
integral 3y dy = 3y^22
integral 10 dy = 10y
Então,
Área = [ -y^33 + 3y^22 + 10y ]-2^5 Á

Passo 9

Vamos agora substituir os limites de integração:
Para y = 5 :
-5^33 + 3(5)^22 + 10(5) = -1253 + 752 + 50
Para y = -2 :
-(-2)^33 + 3(-2)^22 + 10(-2) = --83 + 122 - 20 = 83 + 6 - 20

Passo 10

Calculando as expressões:
Para y = 5 :
-1253 + 752 + 50 approx -41666 + 37.5 + 50 = 45.833
Para y = -2 :
83 + 6 - 20 approx 2666 + 6 - 20 = -11.333
Agora, subtraímos o valor em y = -2 do valor em y = 5 :
45.833 - (-11.333) = 45.833 + 11.333 = 57.166

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas x = y^2 - y - 6 e x = 2y + 4 é aproximadamente 57,17 unidades de área.

Exercícios relacionados