Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{3} e^{x+3 y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=0^1integralx=0^3e^,x+3y,dx,dy
O conteúdo envolvido é a propriedade de fatoração de constantes na integral e a fórmula de
integral e^ax+b,dx=1ae^ax+b. Vamos primeiro integrar em x e depois em y.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x, tratando y como constante:
integral0^3e^,x+3y,dx = e^3y,integral0^3e^x,dx = e^3yl[e^xr]0^3 = e^3yl(e^3-1r)

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^1e^3yl(e^3-1r),dy =(e^3-1)integral0^1e^3y,dy =(e^3-1)[13e^3y]0^1 =e^3-13l(e^3-1r)

Passo 4

Basta simplificar o produto:
e^3-13,(e^3-1) =(e^3-1)^23

Resposta

(e^3-1)^23

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