Questão 4: (2.5 pontos)
Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte EDP:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t} \\\ \frac{\partial u}{\partial x}(0, t)=\frac{\partial u}{\partial x}(4, t)=0, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=x-2, \quad 0<x<4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão (ou calor)
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \;=\;\frac{\partial u}{\partial t},
no intervalo 0<x<4 com condições de contorno do tipo Neumann
\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0,\quad \frac{\partial u}{\partial x}(4,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=x-2.
O método de separação de variáveis consiste em assumir
u(x,t)=X(x)\,T(t)
e reduzir a P.D.E. a dois ODEs acoplados, um em x e outro em t.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) na P.D.E. temos
X''(x)\,T(t)=X(x)\,T'(t).
Dividindo por X(x)T(t) e igualando a constante de separação -\mu obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T'(t)}{T(t)}=-\mu.
Isso gera dois ODEs:
X''+\mu\,X=0, \qquad T'+\mu\,T=0.

Passo 3

As condições de contorno u_x(0,t)=X'(0)T(t)=0 e u_x(4,t)=X'(4)T(t)=0 levam a
X'(0)=0,\quad X'(4)=0.
Para \mu=0 ou \mu<0 não aparecem modos não-triviais compatíveis com ambas Neumann. Para \mu>0 definimos
\mu_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{4}\Bigr)^2, \quad X_n(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr), \quad n=0,1,2,\dots
De fato X_n'(x)=-\tfrac{n\pi}{4}\sin(\tfrac{n\pi}{4}x) zera em x=0 e x=4 pois \sin(n\pi)=0.

Passo 4

O ODE temporal correspondente a \mu_n é
T_n'(t)+\mu_n\,T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=e^{-\mu_n\,t} =e^{-\frac{n^2\pi^2}{16}\,t}.
Logo os modos eigenfunção-tempo são
u_n(x,t) =\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\, e^{-\frac{n^2\pi^2}{16}t}.

Passo 5

A solução geral é combinação linear
u(x,t) =\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\, e^{-\frac{n^2\pi^2}{16}t}.
Para satisfazer u(x,0)=x-2 precisamos expandir
x-2 =\sum_{n=0}^\infty a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr).
Como a média de x-2 em [0,4] é zero, a_0=0. Para n\ge1,
a_n =\frac{2}{4}\int_{0}^{4}(x-2)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\,dx =\frac12\int_{0}^{4}(x-2)\cos(\lambda_n x)\,dx,
com \lambda_n=\tfrac{n\pi}{4}.

Passo 6

Calculando por partes
\int_{0}^{4}(x-2)\cos(\lambda x)\,dx =\frac{(-1)^n-1}{\lambda^2},
logo
a_n =\frac12\;\frac{(-1)^n-1}{\lambda_n^2} =\frac{(-1)^n-1}{2\,(\tfrac{n^2\pi^2}{16})} =\frac{8}{n^2\pi^2}\bigl[(-1)^n-1\bigr].
Note que, se n é par, (-1)^n-1=0; se n é ímpar, (-1)^n-1=-2. Assim
a_n= \begin{cases} 0,&n\text{ par},\\\\ -\displaystyle\frac{16}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 7

Concluímos que somente termos de n=2k+1 sobrevivem. Usando n=2k+1,
u(x,t) =-\sum_{k=0}^{\infty} \frac{16}{(2k+1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{4}x\Bigr) \exp\!\Bigl(-\tfrac{(2k+1)^2\pi^2}{16}t\Bigr).

Resposta

\boxed{ u(x,t) =-\sum_{k=0}^{\infty} \frac{16}{(2k+1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{4}\,x\Bigr) \exp\!\Bigl(-\frac{(2k+1)^2\pi^2}{16}\,t\Bigr) }.

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