Questão 4: (2.5 pontos)
Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte EDP:
Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte EDP:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da difusão (ou calor)
no intervalo
com condições de contorno do tipo Neumann
e condição inicial
O método de separação de variáveis consiste em assumir
e reduzir a P.D.E. a dois ODEs acoplados, um em
e outro em
.
Passo 2
Substituindo
na P.D.E. temos
Dividindo por
e igualando a constante de separação
obtemos
Isso gera dois ODEs:
Passo 3
As condições de contorno
e
levam a
Para
ou
não aparecem modos não-triviais compatíveis com ambas Neumann. Para
definimos
De fato
zera em
e
pois
.
Passo 4
O ODE temporal correspondente a
é
Logo os modos eigenfunção-tempo são
Passo 5
A solução geral é combinação linear
Para satisfazer
precisamos expandir
Como a média de
em
é zero,
. Para
,
com
.
Passo 6
Calculando por partes
logo
Note que, se
é par,
; se
é ímpar,
. Assim
Passo 7
Concluímos que somente termos de
sobrevivem. Usando
,