Dadas as séries \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) e \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right), calcule explicitamente as n-ésimas somas parciais ou reduzidas S_{n} e T_{n} destas séries e verifique que ambas são divergentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as somas parciais
S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\bigl(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\bigr)
e
T_{n} = \sum_{k=1}^{n}\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr)
e em seguida verificar que ambas as sequências \{S_{n}\} e \{T_{n}\} divergem. O método central será usar a soma telescópica em cada caso.

Passo 2

Para a primeira série escrevemos
S_{n} = (\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).
Ao expandir vemos que todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
S_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{1} = \sqrt{n+1}-1.

Passo 3

Para verificar a divergência de \{S_{n}\} basta observar
\lim_{n\to\infty}S_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-1\bigr) = +\infty.
Logo a primeira série diverge.

Passo 4

Para a segunda série usamos a identidade
\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr).
Assim
T_{n} = \sum_{k=1}^{n}\ln\!\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2}{1}\Bigr)+\ln\!\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)+\cdots+\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr).
Pela soma de logaritmos isso vira logaritmo do produto telescópico:
T_{n} = \ln\!\Bigl(\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{n+1}{n}\Bigr) = \ln(n+1).

Passo 5

Da mesma forma, para \{T_{n}\} temos
\lim_{n\to\infty}T_{n} = \lim_{n\to\infty}\ln(n+1) = +\infty.
Portanto a segunda série também diverge.

Resposta

S_{n} = \sqrt{n+1}-1, diverge para +\infty.
T_{n} = \ln(n+1), diverge para +\infty.

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