Calcule a integral iterada.
\int_{2}^{4} \int_{-1}{1}\left(x{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral2^4integral-1^1l(x^2+y^2r),dy,dx
Isso envolve o conteúdo de integrais duplas (iteradas). Vamos usar a propriedade de linearidade da integral para primeiro integrar em y e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral-1^1l(x^2+y^2r),dy =integral-1^1x^2,dy+integral-1^1y^2,dy
Como x^2 é constante em relação a y,
integral-1^1x^2,dy =x^2l[yr]-1^1 =x^2(1-(-1)) =2x^2
E
integral-1^1y^2,dy =l[tfracy^33r]-1^1 =tfrac1^33-tfrac(-1)^33 =tfrac1+13 =tfrac23
Logo, a integral interna vale
2x^2+tfrac23

Passo 3

Agora integramos em x de 2 a 4:
integral2^4l(2x^2+tfrac23r),dx =2integral2^4x^2,dx +tfrac23integral2^4dx
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral2^4x^2,dx =l[tfracx^33r]2^4, integral2^4dx =l[xr]2^4

Passo 4

Avaliaremos as duas partes:
2l(tfrac4^3-2^33r) +tfrac23(4-2) =2l(tfrac64-83r) +tfrac23cdot2 =2cdottfrac563 +tfrac43 =tfrac1123+tfrac43 =tfrac1163

Resposta

1163

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