Encontre o domínio das seguintes funções vetoriais:
r(t)=(cos (t), ln (4-t), raizt+1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função vetorial r(t) = (cos(t), ln(4 - t), raizt + 1) . Isso envolve identificar para quais valores de t cada componente da função está bem definida. Para isso, vamos precisar conhecer os domínios das funções trigonométricas, logarítmicas e de raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente cos(t) . A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, não impõe nenhuma restrição no domínio de t .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a componente ln(4 - t) . A função logarítmica natural ln(x) só está definida quando x > 0 . Portanto, precisamos que:
4 - t > 0
Resolvendo a inequação:
t < 4

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a componente raizt + 1 . A função de raiz quadrada raizx está definida quando x >= 0 . Então, devemos ter:
t + 1 >= 0
Resolvendo a inequação:
t >= -1

Passo 5

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
t >= -1 e t < 4
Isso significa que t deve ser maior ou igual a -1 e menor que 4.

Resposta

O domínio da função é -1 <= t < 4 .

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