Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
; em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada por duas curvas em torno do eixo
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. As curvas são
e
. Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
. Portanto, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido. Ao girar em torno do eixo
, cada fatia transversal no eixo
forma um anel (ou disco com um buraco). O raio externo
é a distância do eixo de rotação até a curva mais externa (
), que é constante:
O raio interno
é a distância do eixo de rotação até a curva interna (
):
Passo 4
O volume de cada anel é dado pela área da região entre os dois discos multiplicada pela espessura
. A área do anel é:
Portanto, o volume total
é a integral dessa expressão de
a
:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Calculando os valores numéricos e a diferença entre eles dará o volume total.
Resposta
Após realizar os cálculos, o volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.