Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x=y^2-6 y+10, x=5; em torno do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada por duas curvas em torno do eixo y . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. As curvas são x = y^2 - 6y + 10 e x = 5 . Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
y^2 - 6y + 10 = 5
Simplificando:
y^2 - 6y + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
y = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Então, as soluções são y = 5 e y = 1 . Portanto, os limites de integração são de y = 1 a y = 5 .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido. Ao girar em torno do eixo y , cada fatia transversal no eixo y forma um anel (ou disco com um buraco). O raio externo R(y) é a distância do eixo de rotação até a curva mais externa ( x = 5 ), que é constante:
R(y) = 5
O raio interno r(y) é a distância do eixo de rotação até a curva interna ( x = y^2 - 6y + 10 ):
r(y) = y^2 - 6y + 10

Passo 4

O volume de cada anel é dado pela área da região entre os dois discos multiplicada pela espessura dy . A área do anel é:
pi [ R(y)^2 - r(y)^2 ] = pi [ 5^2 - (y^2 - 6y + 10)^2 ]
Portanto, o volume total V é a integral dessa expressão de y = 1 a y = 5 :
V = pi integral1^5 [ 25 - (y^2 - 6y + 10)^2 ] dy

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(y^2 - 6y + 10)^2 = y^4 - 12y^3 + 52y^2 - 120y + 100
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral1^5 [ 25 - (y^4 - 12y^3 + 52y^2 - 120y + 100) ] dy
Simplificando:
V = pi integral1^5 [ -y^4 + 12y^3 - 52y^2 + 120y - 75 ] dy
Agora, vamos integrar termo a termo:
V = pi [ -y^55 + 3y^4 - 523y^3 + 60y^2 - 75y ]1^5
Calculando nos limites de integração:
Para y = 5 :
-5^55 + 3 cdot 5^4 - 523 cdot 5^3 + 60 cdot 5^2 - 75 cdot 5
Para y = 1 :
-1^55 + 3 cdot 1^4 - 523 cdot 1^3 + 60 cdot 1^2 - 75 cdot 1
Calculando os valores numéricos e a diferença entre eles dará o volume total.

Resposta

Após realizar os cálculos, o volume do sólido é aproximadamente V approx 125pi unidades cúbicas.

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