Questāo 10. Três dados são lançados simultaneamente. Calcule a probabilidade de obter 12 como soma das três faces voltadas para cima.
Passo 1
O enunciado diz que lançamos simultaneamente três dados justos (cada face de
a
com probabilidade igual) e pede a probabilidade de que a soma das faces voltadas para cima seja
. O conteúdo aqui é contagem de casos em um espaço amostral finito e uniforme, usando métodos de enumeração de soluções inteiras sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, o tamanho do espaço amostral total é
pois cada um dos três dados tem
resultados possíveis, todos igualmente prováveis.
Passo 3
Para contar os resultados favoráveis (triplas
tais que
vamos transformar
. Assim
e
, e a soma vira
Passo 4
Sem a restrição
, o número de soluções não-negativas de
é
Porém algumas dessas soluções têm
(isto é,
), o que é impossível. Para cada variável
que viole
, definimos
e recontamos as soluções de soma
, obtendo
para cada escolha de
. Como há 3 variáveis, pelo princípio da inclusão-exclusão subtraímos
, ficando
soluções válidas.
Passo 5
Logo, há
resultados favoráveis em um total de
. A probabilidade pedida é
Resposta
A probabilidade de obter soma
é
.