Questāo 10. Três dados são lançados simultaneamente. Calcule a probabilidade de obter 12 como soma das três faces voltadas para cima.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos simultaneamente três dados justos (cada face de 1 a 6 com probabilidade igual) e pede a probabilidade de que a soma das faces voltadas para cima seja 12. O conteúdo aqui é contagem de casos em um espaço amostral finito e uniforme, usando métodos de enumeração de soluções inteiras sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, o tamanho do espaço amostral total é
6^3 = 216,
pois cada um dos três dados tem 6 resultados possíveis, todos igualmente prováveis.

Passo 3

Para contar os resultados favoráveis (triplas (x_1,x_2,x_3) tais que
x_1+x_2+x_3 = 12 \quad\text{e}\quad 1 \le x_i \le 6),
vamos transformar x_i = y_i + 1. Assim y_i \ge 0 e y_i \le 5, e a soma vira
(y_1+1)+(y_2+1)+(y_3+1)=12 \quad\Longrightarrow\quad y_1+y_2+y_3 = 9.

Passo 4

Sem a restrição y_i \le 5, o número de soluções não-negativas de
y_1+y_2+y_3=9
é
\binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55.
Porém algumas dessas soluções têm y_i\ge6 (isto é, x_i\ge7), o que é impossível. Para cada variável y_i que viole y_i\le5, definimos y_i' = y_i-6\ge0 e recontamos as soluções de soma 9-6=3, obtendo
\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10
para cada escolha de i. Como há 3 variáveis, pelo princípio da inclusão-exclusão subtraímos 3\times10=30, ficando
55 - 30 = 25
soluções válidas.

Passo 5

Logo, há 25 resultados favoráveis em um total de 216. A probabilidade pedida é
\frac{25}{216}.

Resposta

A probabilidade de obter soma 12 é \displaystyle \frac{25}{216}.

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