Encontre a área da parte do cone z^2=a^2(x^2+y^2) entre os pla nos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do cone definido pela equação z^2 = a^2(x^2 + y^2) que está entre os planos z = 1 e z = 2 . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre como calcular áreas de superfícies usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cone. Em coordenadas cartesianas, o cone é dado por z^2 = a^2(x^2 + y^2) . Podemos reescrever isso em coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta . Substituindo esses valores, temos:
z^2 = a^2 r^2 Rightarrow z = a r
Isso nos mostra que o cone relaciona a altura z com o raio r de forma linear.

Passo 3

Para encontrar a área da superfície do cone entre z = 1 e z = 2 , precisamos calcular um elemento de área dS na superfície. Em coordenadas polares, o elemento de área em uma superfície pode ser expresso como:
dS = raiz(dzdr)^2 + 1 cdot r , dtheta , dr
Vamos calcular a derivada dzdr :
dzdr = a
Então, substituindo na expressão de dS :
dS = raiza^2 + 1 cdot r , dtheta , dr

Passo 4

Agora, vamos integrar esse elemento de área para encontrar a área total entre z = 1 e z = 2 . Primeiro, precisamos relacionar os limites de integração para r com os valores de z :
z = a r Rightarrow r = za
Portanto, quando z = 1 , r = 1a e quando z = 2 , r = 2a .

Passo 5

A integral para calcular a área A fica assim:
A = integral0^2pi integral1a^2a raiza^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral1a^2a r , dr = r^22 |1a^2a = (2/a)^22 - (1/a)^22 = 42a^2 - 12a^2 = 32a^2

Passo 6

Agora, substituindo de volta na integral externa:
A = raiza^2 + 1 cdot 32a^2 cdot integral0^2pi dtheta = raiza^2 + 1 cdot 32a^2 cdot 2pi = 3pi raiza^2 + 1a^2

Resposta

A área da parte do cone entre os planos z = 1 e z = 2 é:
A = 3pi raiz1 + a^2a^2

Exercícios relacionados