Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do cone definido pela equação que está entre os planos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre como calcular áreas de superfícies usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cone. Em coordenadas cartesianas, o cone é dado por . Podemos reescrever isso em coordenadas polares, onde e . Substituindo esses valores, temos:
Isso nos mostra que o cone relaciona a altura com o raio de forma linear.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície do cone entre e , precisamos calcular um elemento de área na superfície. Em coordenadas polares, o elemento de área em uma superfície pode ser expresso como:
Vamos calcular a derivada :
Então, substituindo na expressão de :
Passo 4
Agora, vamos integrar esse elemento de área para encontrar a área total entre e . Primeiro, precisamos relacionar os limites de integração para com os valores de :