Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{3} \operatorname{sen} x d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi/4!integral0^3sin x;dy;dx
Isso faz parte de “integração em várias variáveis”, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, a gente vai usar a regra de que, ao integrar em relação a uma variável, tudo que não depende dela pode ser tratado como constante.

Passo 2

Vamos primeiro fazer a integral interna, que é em relação a y:
integral0^3sin x;dy
Como sin x não depende de y, posso tirá-la da integral:
sin x;integral0^31,dy =sin x;(y)|0^3 =3,sin x
Ou seja, a integral interna vira 3,sin x.

Passo 3

Agora a integral externa fica
integral0^pi/43,sin x;dx
Lembra que integral sin x,dx=-cos x? Então
integral0^pi/43,sin x;dx =3integral0^pi/4sin x;dx =3l[-cos xr]0^pi/4 =3l(-cos(tfracpi4)+cos0r)
Como cos(tfracpi4)=tfracraiz22 e cos0=1, temos
3l(-tfracraiz22+1r) =3-tfrac3raiz22

Resposta

boxed3-3raiz22

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